segunda-feira, 28 de novembro de 2016

CONTEÚDOS DE MATEMÁTICA FUNDAMENTAL 2

7) Perímetro e Área:

Perímetro: 
Perímetro é a medida do comprimento de um contorno.

Observe um campo de futebol, o perímetro dele é o seu contorno que está de vermelho.

Pra fazermos o cálculo do perímetro devemos somar todos os seus lados:
P = 100 + 70 + 100 + 70
P = 340 m

Área: 
Área é a medida de uma superfície.
A área do campo de futebol é a medida de sua superfície (gramado).
Se pegarmos outro campo de futebol e colocarmos em uma malha quadriculada, a sua área será equivalente à quantidade de quadradinho. Se cada quadrado for uma unidade de área:
Veja o exemplo:
Determine a área de uma sala quadrada, sabendo que a medida de seu lado é 6,45 m
8)                 Regra de três simples:
Regra de três é o processo destinado a resolver problemas que envolvam grandezas diretamente ou inversamente proporcionais. Assim, se em um dado problema temos grandezas diretamente ou inversamente proporcionais, podemos utilizar regra de três simples ou composta para resolver o problema dado.
Veja um exemplo:
Uma usina produz 500 litros de álcool com 6 000 kg de cana – de – açúcar. Determine quantos litros de álcool são produzidos com 15 000 kg de cana.
Serão produzidos 1 250 litros de álcool com 15 000 kg de cana – de – açúcar
9)                 Juros simples:
No sistema de capitalização simples, os juros são calculados baseados no valor da dívida ou da aplicação. Dessa forma, o valor dos juros é igual no período de aplicação ou composição da dívida.
A expressão matemática utilizada para o cálculo das situações envolvendo juros simples é a seguinte:
                                             J = C * i * t, onde
J = juros
C = capital
i = taxa de juros
t = tempo de aplicação (mês, bimestre, trimestre, semestre, ano...)

M = C + J
M = montante final
C = capital
J = juros
Exemplo 1 
Qual o valor do montante produzido por um capital de R$ 1.200,00, aplicado no regime de juros simples a uma taxa mensal de 2%, durante 10 meses?
Capital: 1200
i = 2% = 2/100 = 0,02 ao mês (a.m.)
t = 10 meses

J = C * i * t
J = 1200 * 0,02 * 10
J = 240

M = C + j
M = 1200 + 240
M = 1440

O montante produzido será de R$ 1.440,00.
10)  Sistema de equações do 1º grau com duas incógnitas:

A solução de um sistema de equações do 1º grau com duas incógnitas é o par ordenado que satisfaz, ao mesmo tempo, as duas equações. 
Observe o exemplo: 
Soluções da equação x + y = 7 (1,6); (2,5); (3,4); (4,3); (5,2); (6,1); etc. 
Soluções da equação 2x + 4y = 22(1,5); (3,4); (5,3); (7,2); etc. 
O par ordenado (3,4) é a solução do sistema, pois satisfaz ao mesmo tempo as duas equações. 
Vamos construir o gráfico das duas equações e verificar se a intersecção das retas será o par ordenado (3,4). 

Portanto, podemos verificar através da construção gráfica que a solução do sistema de equações do 1º grau com duas incógnitas é o ponto de intersecção das duas retas correspondentes às duas equações.
Veja o exemplo:
Cláudio usou apenas notas de R$ 20,00 e de R$ 5,00 para fazer um pagamento de R$ 140,00. Quantas notas de cada tipo ele usou, sabendo que no total foram 10 notas?
x notas de 20 reais y notas de 5 reais
Sistema de equações


Podemos verificar através da representação gráfica que a solução do sistema de equações do 1º grau é x = 6 e y = 4. Par ordenado (6,4).

11)  Fórmula de Bhaskara e situações-problema:
O nome Fórmula de Bhaskara foi dada em homenagem ao matemático Bhaskara Akaria, considerado o mais importante matemático indiano do século XII.
A fórmula de Bhaskara é principalmente usada para resolver equações quadráticas de fórmula geral ax2+bx+c=0, com coeficientes reais, com a≠0 e é dada por:
Chamamos de discriminante: Δ = b2-4ac
Dependendo do sinal de Δ, temos:
  • Δ=0, então a equação tem duas raízes iguais.
  • Δ>0, então a equação tem duas raízes diferentes.
  • Δ<0, então a equação não tem raízes reais.
A ideia da demonstração da fórmula de Bhaskara é o completamento de quadrados. Seja:
ax2+bx+c=0
a2x2+abx+ac=0
4a2x2+4abx+4ac=0
4a2x2+4abx+b2+4ac=b2
(2ax)2+2(2ax)b+b2=b2-4ac
(2ax+b)2=b2-4ac
Através da Fórmula de Bhaskara podemos deduzir uma expressão para a soma (S) e o produto (P) das raízes da equação do 2º grau.
Sendo x1 e x2 raízes da equação ax2+bx+c=0, então:
S = x1+x2 = -b/a
P = x1.x2 = c/a
A importância da Fórmula  de Bhaskara é que ela nos permite resolver qualquer problema que envolva equações quadráticas, os quais aparecem em diversas situações importantes, como na Fisica por exemplo.
Veja o exemplo:

Identificar os coeficientes da Equação
2
Achar o delta ou discriminante
3
Substituir os valores na fórmula de Bhaskara
Achar as raízes da equação
Se  , isto é, o número seja negativo, a equação não possui raízes reais. Não há solução no conjunto Real, pois não existe raiz quadrada real de número negativo.
12)  Teorema de Tales:
Tales de Mileto foi um importante filósofo, astrônomo e matemático grego que viveu antes de Cristo. Ele usou seus conhecimentos sobre Geometria e proporcionalidade para determinar a altura de uma pirâmide. Em seus estudos, Tales observou que os raios solares que chegavam à Terra estavam na posição inclinada e eram paralelos, dessa forma, ele concluiu que havia uma proporcionalidade entre as medidas da sombra e da altura dos objetos, observe a ilustração:
Com base nesse esquema, Tales conseguiu medir a altura de uma pirâmide com base no tamanho da sua sombra. Para tal situação ele procedeu da seguinte forma: fincou uma estaca na areia, mediu as sombras respectivas da pirâmide e da estaca em uma determinada hora do dia e estabeleceu a proporção:
O Teorema de Tales pode ser determinado pela seguinte lei de correspondência:
“Feixes de retas paralelas cortadas ou intersectadas por segmentos transversais formam segmentos de retas proporcionalmente correspondentes”.
Para compreender melhor o teorema observe o esquema representativo a seguir:
                   
Pela proporcionalidade existente no Teorema, temos a seguinte situação:
Exemplo 1
Aplicando a proporcionalidade existente no Teorema de Tales, determine o valor dos segmentos AB e BC na ilustração a seguir:
AB = 2x – 3
BC = x + 2
A’B’ = 5
B’C’ = 6

Determinando o valor de x:

AB = 2x – 3 → 2*4 – 3 = 5
BC = x + 2 → 4 + 2 = 6

13)  Teorema de Pitágoras:
O Teorema de Pitágoras é considerado uma das principais descobertas da Matemática, ele descreve uma relação existente no triângulo retângulo. Vale lembrar que o triângulo retângulo pode ser identificado pela existência de um ângulo reto, isto é, medindo 90º. O triângulo retângulo é formado por dois catetos e a hipotenusa, que constitui o maior segmento do triângulo e é localizada oposta ao ângulo reto. Observe:
Catetos: a e b
Hipotenusa: c
O Teorema diz que: “a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.”
a² + b² = c²
Exemplo 1
Calcule o valor do segmento desconhecido no triângulo retângulo a seguir.

x² = 9² + 12²
x² = 81 + 144
x² = 225
√x² = √225
x = 15
Foi através do Teorema de Pitágoras que os conceitos e as definições de números irracionais começaram a ser introduzidos na Matemática. O primeiro irracional a surgir foi √2, que apareceu ao ser calculada a hipotenusa de um triângulo retângulo com catetos medindo 1. Veja:

x² = 1² + 1²
x² = 1 + 1
x² = 2
√x² = √2
x = √2

√2 = 1,414213562373....

14)   Sistema de medidas comprimento:
As medidas de comprimento são mecanismos de medição eficazes uma vez que utilizam como recurso medidas convencionais: milímetro, centímetro, metro, quilômetro, por exemplo, os quais foram criados justamente para mitigar a probabilidade de ocorrência de erros no momento em que era necessário mensurar as coisas.
Aqui você vai conhecer essas unidades de medida e vai aprender como calcular cada uma delas.
Múltiplos
Medida base
Submúltiplos
Km
hm
dam
m
dm
cm
mm
1.000 m
100 m
10 m
1 m
0,1 m
0,01 m
0,001 m

Metro

A medida base no Sistema Internacional de Medidas (SI) é o metro. O metro possui múltiplos, que correspondem a grandes distâncias e submúltiplos, que por sua vez correspondem a pequenas distâncias.
·         Assim, são múltiplos do metro: quilômetro (km), hectômetro (hm) e decâmetro (dam).
·         Enquanto são submúltiplos do metro: decímetro (dm), centímetro (cm) e milímetro (mm).

Conversor de Medidas de Comprimento

Como vimos, os múltiplos do metro são as grandes distâncias. Eles são chamados de múltiplos porque resultam de uma multiplicação que tem como referência o metro. Os submúltiplos, ao contrário, como pequenas distâncias, resultam de uma divisão que tem igualmente como referência o metro. Eles aparecem do lado direito na tabela acima, cujo centro é a nossa medida base - o metro.

Exercícios

Os exercícios a seguir são facilmente resolvidos utilizando a tabela de conversor de medidas.
Quantos decímetros equivalem 3,50 quilômetros?
Múltiplos
Medida base
Submúltiplos
quilômetro (km)
hectômetro (hm)
decâmetro (dam)
metro (m)
decímetro (dm)
centímetro (cm)
milímetro (mm)
3,
5
0
Primeiro, coloque o comprimento que você tem. O algarismo que é seguido de vírgula deve ficar abaixo da sua unidade. Assim, como temos 3,50 km o 3, deve ficar na coluna do km.
Múltiplos
Medida base
Submúltiplos
quilômetro (km)
hectômetro (hm)
decâmetro (dam)
metro (m)
decímetro (dm)
centímetro (cm)
milímetro (mm)
3
5
0
0
0,
De seguida, devemos preencher as colunas com 0 até chegar à unidade que queremos. Por fim, a vírgula se desloca do local inicial e vai para o final (a vírgula no final, no entanto, não deve aparecer). Temos assim, o seguinte resultado:
3,50 km = 35000 dm
O mesmo esquema deve ser utilizado nos exercícios seguintes:
105 hectômetros equivalem a quantos metros?
Múltiplos
Medida base
Submúltiplos
quilômetro (km)
hectômetro (hm)
decâmetro (dam)
metro (m)
decímetro (dm)
centímetro (cm)
milímetro (mm)
105
0
0
Resposta: 105 hm = 10500 m
Converta 0,75 centímetros em hectômetros.
Múltiplos
Medida base
Submúltiplos
quilômetro (km)
hectômetro (hm)
decâmetro (dam)
metro (m)
decímetro (dm)
centímetro (cm)
milímetro (mm)
0
0
0
0
0,75
Resposta: 0,75 cm = 0,000075 hm
Quantos decâmetros tem 37 quilômetros mais 45 decâmetros?
Múltiplos
Medida base
Submúltiplos
quilômetro (km)
hectômetro (hm)
decâmetro (dam)
metro (m)
decímetro (dm)
centímetro (cm)
milímetro (mm)
37
0
0
37 km = 3700 dm
3700 dm + 45 dm = 3745 dm
Resposta: 3745 dm
A exposição de arte oriental conta com 33568 metros, enquanto a exposição de arte africana conta com 29 quilômetros e mais 5594 metros. Qual é a exposição mais curta?
Múltiplos
Medida base
Submúltiplos
quilômetro (km)
hectômetro (hm)
decâmetro (dam)
metro (m)
decímetro (dm)
centímetro (cm)
milímetro (mm)
29
0
0
0
29 km = 29000 m
29000 m + 5594 m = 34594 m
Resposta: A exposição de arte oriental é a mais curta.

Sistema de medidas massa:
Quando necessitamos comprar carne, verduras, frutas, legumes, arroz, feijão, açúcar e outros produtos utilizamos as medidas de massa como o grama e o quilograma. O grama é a principal medida de massa existente, as medidas maiores são chamadas de múltiplos e as menores, submúltiplos.

Como múltiplos do grama temos o decagrama (dag), o hectograma (hg) e o quilograma (kg).

Os submúltiplos do grama são o decigrama (dg), o centigrama (cg) e o miligrama (mg).
Conversões 
1 quilograma (kg) possui 1000 gramas (g)
1 hectograma (hg) possui 100 gramas (g)
1 decagrama (dg) possui 10 gramas (g) 


1 grama (g) é igual a:
10 decagramas (dg)
100 decigramas (cg)
1000 miligramas (mg) 


Nas situações envolvendo produtos domésticos como carne, arroz, milho, feijão, frutas, verduras entre outros podemos utilizar o grama (g) ou o quilograma (kg).
Quando estamos fazendo referência a pesos muito grandes, como cargas de caminhões, de trens, de navios e de aviões, utilizamos a tonelada (t). A tonelada é igual a 1000 quilogramas (kg) ou 1 000 000 de gramas (g).

Outra medida de massa muito utilizada na pesagem de animais e produtos agrícolas, como o fumo e o algodão, é a arroba, que corresponde a 15 quilogramas (kg).
Sistema de unidade de volume:
Medidas de volume
    Introdução
    Frequentemente nos deparamos com problemas que envolvem o uso de três dimensões: comprimento, largura e altura. De posse de tais medidas tridimensionais, poderemos calcular medidas de metros cúbicos e volume.

    Metro cúbico

    A unidade fundamental de volume chama-se metro cúbico. O metro cúbico (m3) é medida correspondente ao espaço ocupado por um cubo com 1 m de aresta.
     Múltiplos e submúltiplos do metro cúbico
Múltiplos
Unidade Fundamental
Submúltiplos
quilômetro cúbico
hectômetro cúbico
decâmetro cúbico
metro cúbico
decímetro cúbico
centímetro cúbico
milímetro cúbico
km3
hm3
dam3
m3
dm3
cm3
mm3
1.000.000.000m3
1.000.000 m3
1.000m3
1m3
0,001m3
0,000001m3
0,000000001 m3

 

    Leitura das medidas de volume

    A leitura das medidas de volume segue o mesmo procedimento do aplicado às medidas lineares. Devemos utilizar porem, tres algarismo em cada unidade no quadro. No caso de alguma casa ficar incompleta, completa-se com zero(s). Exemplos.
  • Leia a seguinte medida: 75,84m3
km3
hm3
dam3
m3
dm3
cm3
mm3
    
     
     
75,
840
     
    
    Lê-se "75 metros cúbicos e 840 decímetros cúbicos".


  • Leia a medida: 0,0064dm3
km3
hm3
dam3
m3
dm3
cm3
mm3
    
     
     
0,
006
400
    
    Lê-se "6400 centímetros cúbicos".

Medidas de superfície
    Introdução
    As medidas de superficie fazem parte de nosso dia a dia e respondem a nossas perguntas mais corriqueiras do cotidiano:
  • Qual a area desta sala?
  • Qual a area desse apartamento?
  • Quantos metros quadrados de azulejos são necessarios para revestir essa piscina?
  • Qual a area dessa quadra de futebol de salão?
  • Qual a area pintada dessa parede?

  Superfície e área

Superficie é uma grandeza com duas dimensòes, enquanto área é a medida dessa grandeza, portanto, um número.
    Metro Quadrado
    A unidade fundamental de superfície chama-se metro quadrado.
O metro quadrado (m2) é a medida correspondente à superfície de um quadrado com 1 metro de lado.  
Múltiplos
Unidade Fundamental
Submúltiplos
quilômetros quadrado  
hectômetro quadrado
decâmetro quadrado
metro quadrado
decímetro quadrado
centímetro quadrado
milímetro quadrado
km2
hm2
dam2
m2
dm2
cm2
mm2
1.000.000m2
10.000m2
100m2
1m2
0,01m2
0,0001m2
0,000001m2  

    O dam2, o hm2 e km2 sào utilizados para medir grandes superfícies, enquanto o dm2, o cm2 e o mm2 são utilizados para pequenas superfícies.
    Exemplos:
    1) Leia a seguinte medida: 12,56m2  
km2
hm2
dam2
m2
dm2
cm2
mm2
    
     
     
12,
56
     
    
    Lê-se “12 metros quadrados e 56 decímetros quadrados”. Cada coluna dessa tabela corresponde a uma unidade de área.
    2) Leia a seguinte medida: 178,3 m2  
km2
hm2
dam2
m2
dm2
cm2
mm2
    
     
1
78,
30
     
    
    Lê-se “178 metros quadrados e 30 decímetros quadrados”
    3) Leia a seguinte medida: 0,917 dam2
km2
hm2
dam2
m2
dm2
cm2
mm2
    
     
0,
91
70
     
    
    Lê-se 9.170 decímetros quadrados.

    Medidas Agrárias
    As medidas agrárias são utilizadas parea medir superfícies de campo, plantações, pastos, fazendas, etc. A principal unidade destas medidas é o are (a). Possui um múltiplo, o hectare (ha), e um submúltiplo, o centiare (ca).
Unidade
agrária
hectare (ha)
are (a)
centiare (ca)
    Equivalência
de valor
100a
1a
0,01a
Lembre-se:
1 ha = 1hm2
1a = 1 dam2
1ca = 1m2